pencerahan hati: pertaksamaan bernouli

Rabu, 14 Desember 2011

Ketaksamaan Bernoulli

Dalam analisis real, Jacob Bernoulli menyatakan bahwa

$(1+x)^r\ge1+rx$ untuk $r\le0\vee r\ge1$

Bukti:

Petunjuk: gunakan induksi matematika.

Untuk

, maka $(1+x)^2=1+2x+x^2\ge 1+2x$ karena $x^2\ge 0$ . Jadi benar untuk

.

Misalkan benar untuk

sehingga $(1+x)^k\ge 1+kx$ .

Akan ditunjukkan bahwa benar untuk

$(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)\ge (1+kx)(1+x)$ karena

.

$(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge 1+(k+1)x$ karena $x^2\ge 0$ .

$\therefore\ (1+x)^{k+1}\ge 1+(k+1)x$